求函数值域的方法和例题(求函数值域技巧与例题)

求函数值域的方法和例题

函数是中学数学中的重要概念，它表示两个变量之间的关系。函数的值域是函数的所有可能输出值的集合。求函数值域的方法有多种，本文将介绍常见的几种方法，并通过例题进行说明。

一、代入法

对于定义域明确的函数，可以通过代入法求出值域。具体步骤如下：

1. 确定函数的定义域。

2. 将定义域中的每个值代入函数中，计算出对应的函数值。

3. 将所有函数值集合起来，即得到函数的值域。

例题：

求函数 f(x) = x^2 + 1 的值域。

解：函数 f(x) 的定义域为全体实数，代入定义域中的任意值 x，可得函数值 f(x) = x^2 + 1。由于 x^2 非负，所以 f(x) >= 1。因此，函数 f(x) 的值域为 [1, ∞)。

二、求导法

对于连续可导的函数，可以通过求导法求出值域。具体步骤如下：

1. 求出函数的导数。

2. 求出导数的零点，即函数的极值点。

3. 判断极值点的取值，并结合函数在定义域两端的取值，确定函数的值域。

例题：

求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的值域。

解：函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)。导数的零点为 x = ±1。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减。函数在 x = -1 和 x = 1 处分别取得极小值和极大值，且极小值为 f(-1) = 0，极大值为 f(1) = 0。当 x -> -∞ 时，f(x) -> -∞；当 x -> ∞ 时，f(x) -> ∞。因此，函数 f(x) 的值域为 (-∞, 0] ∪ [0, ∞)。

三、不等式法

对于某些类型的函数，可以通过不等式法求出值域。具体步骤如下：

1. 根据函数的性质，建立包含函数值的不等式。

2. 解不等式，求出不等式的解集。

3. 解集即为函数的值域。

例题：

求函数 f(x) = |x - 1| 的值域。

解：函数 f(x) = |x - 1| 的取值非负，即 f(x) >= 0。因此，函数 f(x) 的值域为 [0, ∞)。

结论

求函数值域的方法有多种，需要根据函数的具体性质选择合适的方法。代入法适用于定义域明确的函数，求导法适用于连续可导的函数，不等式法适用于某些类型的函数。通过求函数值域，我们可以了解函数输出值的范围，有助于我们更好地理解函数的性质和应用。